Déterminant

Guide

Le texte suivant introduit les déterminants en en donnant une construction puis donne quelques propriétés. On espère compléter ultérieurement la partie déterminant et systèmes linéaires.

Déterminant des matrices

Définition de l'application déterminant

Soit Mn,m(K) l'ensemble des matrices à coefficients dans un corps K (égal à RR ou CC) ayant n lignes et m colonnes, Mn(K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. On note

Théorème : Il existe une unique application , appelée déterminant vérifiant les propriétés suivantes

La propriété (D2) est vraie même si les colonnes ne sont pas à côté l'une de l'autre, nous le démontrons à partir des propriétés telles qu'elles ont été énoncés ici :

(D'2) s'il existe des indices j et k tels que , .

Conséquences immédiates de la définition

Petits cas

Pour n=1, on a nécessairement .

Pour n=2, on a nécessairement

det = det = det + det
= a det + c det
= a ( det + det ) + c (det +det )
= a ( 0 + d) det + c ( b det + 0) = ad -bc

Développement par rapport à une colonne

Soit Aij la matrice extraite de A obtenue en enlevant la i-ième ligne et la j-ième colonne. Alors,

Idée de la démonstrat