Extremums en plusieurs variables

Extremums en plusieurs variables


Vous vous promenez sur un chemin de montagne.
  • Vous êtes très sportif et vous désirez aller le plus haut possible dans la région dont vous avez la carte.
  • Vous êtes un peu moins sportif, vous vous contentez de suivre le chemin indiqué. A la fin de la journée, vous désirez savoir quel est le point le plus haut ou le plus bas où vous êtes passé.

L'altitude est une fonction f de deux variables, la position (x, y) sur la carte.
  • Dans le premier cas, vous cherchez à trouver le maximum de la fonction f.
  • Dans le deuxième cas, le chemin est représenté par une contrainte entre x et y donnée par une équation g(x,y) = 0. La question est donc de trouver les points M0 vérifiant g(M0) tels que f soit extrémale en M0 parmi les points vérifiant g(M) = 0.

Voici les deux problèmes que nous allons étudier dans ce qui suit. Cela n'est pas un cours complet, mais donne quelques idées reliées à des exercices à faire.

I Problème d'extrema sans contraintes

II Problème d'extrema avec contraintes

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

IV Tous les exercices WIMS utilisés

I Problème d'extrema sans contraintes

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes
Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle
Dans le cas d'une fonction d'une variable sur un segment, que fait-on pour trouver les maximums d'une fonction ?
Voici un petit échantillon de fonctions pour lesquelles les extrema sont obtenus de manière différente :

Sur un segment [ a , b],
  • On sait que si la fonction est continue, elle admet un extremum . Elle admet un maximum et un minimum atteint en un point de I.
    La question est ensuite de savoir le trouver.
  • On cherche les points où la dérivée de la fonction existe et est nulle.
    Aide
    Si la fonction f est dérivable et a un extremum dans , il est atteint en un réel c où la dérivée de f s'annule.

    On calcule sa valeur en ces points.
  • On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.
  • Et on n'oublie pas de regarder aux points où la fonction f n'est pas dérivable ou pas continue.

Sur un segment ,
  • On ne sait pas si la fonction admet un extremum ou est bornée.
  • Si la fonction est dérivable, si l'extremum existe et est atteint en c, la dérivée de f s'annule en c.
Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

I-2 Topologie

Soit D un sous-ensemble de .

Définition

On appelle intérieur de D l'ensemble des points A de D tels qu'il existe une boule centrée en A et de rayon strictement positif contenue dans D.

.

Définition

On appelle bord de D l'ensemble des points A de tels que toute boule centrée en A et de rayon strictement positif rencontre à la fois D et son complémentaire.

Le bord de D est aussi le bord de son complémentaire.

.

Définition

On dit que D est ouvert s'il est égal à son intérieur.

Définition

On dit que D est fermé s'il contient son bord, autrement dit que son complémentaire est ouvert.

I-3 Définitions

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de dans et A un point de D.

Définition

On dit que f admet un maximum en A si
pour tout point .

Définition

On dit que f admet un minimum en A si
pour tout point .

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de dans et A un point de D qui est à l'intérieur de D.

Définition

On dit que f admet un maximum (local) en A si il existe un réel positif r > 0 tel que
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

Définition

On dit que f admet un minimum (local) en A si il existe un réel positif r > 0 tel que
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

I-4 Existence

Théorème

Soit f une fonction continue sur un ensemble fermé borné D de . Alors f admet un maximum et un minimum absolu dans D, c'est-à-dire qu'il existe M0 et M1 dans D tel que
pour tout point M de D.

En particulier, une telle fonction est bornée sur D.
Le théorème précédent assure l'existence d'extrema sous certaines conditions. Il ne reste plus qu'à chercher comment les trouver.

I-5 Condition nécessaire et points critiques

Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-5 Condition nécessaire et points critiques

Théorème

Si A est intérieur à D, si f admet un extremum local en A, alors le gradient de f en A est nul : on dit que A est un point critique de f.

La condition nécessaire qui vient d'être donnée ne concerne que les points de D qui sont à l'intérieur de D.
Démonstration
Supposons par exemple que A est un maximum local. Alors pour H un vecteur de et t dans un intervalle I centré en 0 suffisamment petit pour que les points A + t H appartiennent encore à D ( I dépend de H et son existence vient de ce que A est dans l'intérieur de D), la fonction
admet un maximum local en A. Donc, F'(0) = 0.
Or . Donc pour tout vecteur H, grad f (A) = 0.

.

Fin de la démonstration

Exercice

Points critiques

Exercice

Points critiques
Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-5 Condition nécessaire et points critiques

I-6 Étude locale d'un point critique

Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-6 Étude locale d'un point critique