Surfaces paramétrées

Guide

Etude rapide des surfaces paramétrées, calcul de l'aire d'une surface, flux d'un champ de vecteurs à travers une surface. Formules de Stokes-Green.

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Surfaces

Introduction

Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes
Si vous connaissez les quadriques, vous pouvez regarder les exercices suivants (c'est aussi un moyen de voir à quoi elles ressemblent) :

Définition

Définition : Une surface paramétrée dans est une application C1 d'un domaine calD de dans :
S : (u,v) in calD mapsto f(u,v) in
Si les composantes de la fonction vectorielle f sont f = (f1,f2,f3), on écrit aussi :

On note quelquefois les composantes de f( u , v) par x(u , v), y(u , v), z(u , v), ce qui donne les équations

De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.
On peut aussi ne regarder que l'image f(calD) de l'application f ; c'est un sous-ensemble de qu'on appelle aussi surface dans (à condition qu'elle ne soit pas dégénérée ...)

Exemple fondamental

Exemple : Soit g une fonction de calS subset dans RR. On lui associe la surface paramétrée d'équation
Mais on aurait aussi pu aussi lui associer la surface paramétrée d'équation
ou

Exercice : Paramétrer une surface . Réciproquement, lorsqu'on peut exprimer une des coordonnées en fonction des deux autres, on trouve facilement un paramétrage de la surface.

Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...

Exemple : Paramétrer l'intérieur d'un parallélogramme s'appuyant sur deux vecteurs indépendants de : V1 = (a1 , b1 , c