Géométrie du plan : Frises et Pavages

Géométrie du plan : Frises et Pavages


La première partie de ce document est conçue comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises (ou ornement linéaires) et des pavages, ce que nous faisons ici.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan. Il doit beaucoup à des documents que m'a donnés Daniel Perrin lors de la préparation de ce cours.
frieze pavage

Le plan affine est noté P.

I Frises

II Réseaux et pavages

III D'autres groupes de symétrie

I Frises


lambrequin

I-1 Ornement linéaire


Pour analyser une frise, il faut
  • déterminer la bande , c'est-à-dire la direction des translations et un motif de translation ;
  • trouver son groupe ponctuel , les directions des axes de réflexion, l'ordre des rotations ;
  • placer les éléments de symétrie (centres de rotation, axes de réflexion, axes de réflexion glissée).
  • déterminer le groupe de ses isométries parmi une liste finie que nous allons donner.
  • déterminer un motif de base .

Faisons d'abord l'étude mathématique.

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

I-3 Droite affine invariante de la bande

I-4 Classification

I-5 Nomenclature

I-1 Ornement linéaire

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-1 Ornement linéaire
Prenons une bande B, c'est-à-dire la zone du plan comprise entre deux droites parallèles et un dessin dans cette bande, c'est-à-dire un sous-ensemble de la bande ou un dessin coloré (un nombre fini de sous-ensembles disjoints de cette bande) contenu dans un parallélogramme et translatons-le dans la direction de la bande de manière à ce qu'il n'y ait pas de superposition, on obtient une frise.

Définition

Un ornement linéaire ou frise est un dessin F de P dont le groupe des translations T(F) de Is(F) est de la forme où est un vecteur non nul.

Définition

Un motif de translation M est une partie fermée de F, connexe (c'est-à-dire d'un seul morceau) telle que les translatés de M par les translations de Is(F) recouvrent F :
et telle que l'intersection de deux tels translatés soit contenue dans leur frontière. Un motif de base M est une partie fermée de F, connexe, telle que les images de M par les isométries de Is(F) recouvrent F :
et telle que l'intersection de deux tels transformés soit contenue dans leur frontière.
Par exemple, un parallélogramme de longueur (dans la direction de la bande) la norme de est un motif de translation. Par contre, le motif de base dépend de la structure du groupe des isométries.
Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-1 Ornement linéaire

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

Définition

Un groupe de symétrie d'un ensemble Is(F) est discret s'il existe des réels strictement positifs m1 et m2 tel que
  1. pour toute translation de vecteur non nul appartenant à Is(F), ;
  2. pour toute rotation d'angle theta appartenant à Is(F), .

Proposition

Si Is(F) est discret et laisse fixe un point A, il est fini.

Proposition

Le groupe d'un ornement linéaire est discret.

Proposition

Soit A un point de P. Le groupe ponctuel IsA(F) d'un ornement linéaire est fini.

Désormais, F est un ornement linéaire dont le groupe des translations T(F) de Is(F) est de la forme avec un vecteur non nul. On fixe une origne O du plan.

Proposition

Soit DO la droite vectorielle de direction et la perpendiculaire à DO passant par O. Tout élément de Is(F) est de la forme où t est une translation et
Autrement dit, le groupe ponctuel de Is(F) est contenu dans le groupe .
Démonstration
Soit et écrivons avec gO une isométrie fixant l'origne et un vecteur.
L'isométrie transformée de par g est égale à . Comme appartient à Is(F), aussi ; donc . Comme et ont même norme, est ou .
La droite vectorielle DO de direction est donc stable par gO ; il en est de même de sa perpendiculaire ( gO conserve des angles). Donc, gO peut être : l'identité, la symétrie centrale sO par rapport à O, la réflexion axiale par rapport à DO ou la réflexion axiale par rapport à .
Fin de la démonstration

Les sous-groupes de V4 sont faciles à décrire. Il y en a cinq ;
  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .

Exercice

Quel est le groupe ponctuel de chacune des frises suivantes :
.


.


.


.


.


.


.



Voir aussi Groupe ponctuel d'une frise
Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

I-3 Droite affine invariante de la bande

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-3 Droite affine invariante de la bande

Proposition

Il existe au moins une droite affine D parallèle à invariante par Is(F).

Démonstration
Les droites invariantes par le groupe des translations T(F) de Is(F) sont les droites de direction DO. Nous allons donc chercher la droite D parmi ces droites. Elle doit être invariante par les isométries de Is(F) qui ne sont pas des translations.
Prenons une isométrie g de Is(F) qui n'est pas une translation. Elle s'écrit
avec gO = sO, , avec DO de direction et perpendiculaire à DO. Faisons quelques remarques sur les isométries que l'on peut obtenir et les droites qu'elles laissent invariantes :
  •  : g est une symétrie centrale de centre un point A ; toute droite passant par A et de direction DO est invariante par g ;
  • avec D droite de direction DO et parallèle à D (réflexion ou symétrie glissée) ; on a alors . Donc est un multiple de . La droite D est stable par g.
  • avec Delta droite de direction et parallèle à Delta ; on a alors . Donc appartient à T(F) ; comme il est perpendiculaire à , il est nul. Autrement dit, g est une réflexion d'axe Delta perpendiculaire à DO. Toute droite de direction DO est stable par g.

Reprenons maintenant les cinq cas de groupes ponctuels possibles.
  •  : toute droite de direction DO est invariante par Is(F).
  • ; Is(F) est engendré par T et par pour Delta une droite de direction ; toute droite de direction DO est invariante par Is(F).
  • ; toute droite de direction DO est invariante par Is(F).
  • ; il y a dans une réflexion ou une symétrie glissée d'axe une droite D de direction DO. Cette droite est invariante par les translations de Is(F) et par sD donc par Is(F).
  • ; Is(F) est engendré par T et par , et sA avec parallèle à DO, D une droite de direction DO, Delta perpendiculaire à D et A un point. Montrons que la droite D est stable par Is(F) : il reste à montrer que D est stable par sA (pour les autres, on utilise les cas précédents). Pour cela, il suffit de montrer que A appartient à D. L'isométrie suivante appartient à Is(F) :
    avec parallèle à Delta. Son carré est égal à et . Donc et .
Fin de la démonstration
Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-3 Droite affine invariante de la bande

I-4 Classification